संख्या संबंध और वर्गमूल

संख्या संबंध और वर्गमूल SSC CGL के लिए एक उच्च स्कोरिंग अध्याय है। हर साल इस अध्याय से सीधे 1 से 2 प्रश्न आते हैं। इस अध्याय में संख्याओं के बीच संबंध, संख्याओं के गुणधर्म, HCF और LCM की अवधारणाएं, शेषफल और वर्गमूल तथा घनमूल की पूरी जानकारी शामिल है। जो परीक्षार्थी संख्याओं के बीच संबंध समझ लेते हैं वे लंबी गणनाओं की बजाय शॉर्टकट का उपयोग करके प्रश्नों को बहुत तेजी से हल कर सकते हैं।

1. संख्याओं के बीच संबंध

1.1 गुणनखंड और गुणज - गहरा अध्ययन

गुणनखंड:

• a, b का गुणनखंड है यदि b, a से पूरी तरह विभाज्य हो (शेषफल = 0)
• दूसरे शब्दों में, b = a × k किसी पूर्णांक k के लिए
• उदाहरण: 24 के गुणनखंड = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

गुणनखंडों के गुणधर्म:

• 1 हर संख्या का गुणनखंड है
• हर संख्या स्वयं की गुणनखंड है
• किसी संख्या का गुणनखंड हमेशा उस संख्या से कम या बराबर होता है
• यदि a, b का गुणनखंड है और b, c का गुणनखंड है तो a, c का भी गुणनखंड है (संक्रमणशीलता)
• यदि a, b का और a, c का गुणनखंड है तो a, (b+c) और (b-c) का भी गुणनखंड है
• 1 से बड़ी किसी भी संख्या का सबसे छोटा गुणनखंड हमेशा अभाज्य संख्या होती है

गुणज:

• b, a का गुणज है यदि a, b का गुणनखंड है
• 5 के गुणज: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...
• हर संख्या 1 का गुणज है
• हर संख्या स्वयं का गुणज है
• किसी संख्या के गुणज अनंत होते हैं

किसी संख्या के सभी गुणनखंड ज्ञात करना: 

चरण 1: अभाज्य गुणनखंड निकालें 

चरण 2: गुणनखंडों की संख्या के लिए सूत्र (a+1)(b+1)(c+1)... का उपयोग करें 

चरण 3: जोड़ों में व्यवस्थित रूप से सभी गुणनखंड सूचीबद्ध करें

उदाहरण: 60 के सभी गुणनखंड ज्ञात करें 

60 = 2² × 3 × 5 

गुणनखंडों की संख्या = (2+1)(1+1)(1+1) = 3 × 2 × 2 = 12 

जोड़ों में: (1, 60), (2, 30), (3, 20), (4, 15), (5, 12), (6, 10) 

सभी गुणनखंड: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60

सभी गुणनखंडों के योग का सूत्र: 

यदि N = p^a × q^b × r^c तो: 

गुणनखंडों का योग = [(p^(a+1) - 1)/(p-1)] × [(q^(b+1) - 1)/(q-1)] × [(r^(c+1) - 1)/(r-1)]

उदाहरण: 12 के गुणनखंडों का योग 

12 = 2² × 3 

योग = [(2³-1)/(2-1)] × [(3²-1)/(3-1)] 

= [7/1] × [8/2] 

= 7 × 4 = 28 जांच: 1+2+3+4+6+12 = 28 ✓

1.2 HCF (महत्तम समापवर्तक)

परिभाषा: 

दो या अधिक संख्याओं का HCF वह सबसे बड़ी संख्या है जो उन सभी को पूरी तरह विभाजित करे। इसे GCD (Greatest Common Divisor) भी कहते हैं।

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि 

चरण 1: प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें 

चरण 2: सामान्य अभाज्य गुणनखंड लें 

चरण 3: प्रत्येक सामान्य अभाज्य गुणनखंड की न्यूनतम घात चुनें चरण 4: उन्हें गुणा करें

उदाहरण: 36 और 48 का HCF 

36 = 2² × 3² 

48 = 2⁴ × 3 

सामान्य अभाज्य: 2 और 3 

HCF = 2² × 3¹ = 4 × 3 = 12

उदाहरण: 72, 108 और 144 का HCF 

72 = 2³ × 3² 

108 = 2² × 3³ 

144 = 2⁴ × 3² 

HCF = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

विधि 2: भाग विधि (यूक्लिडीय एल्गोरिदम) 

चरण 1: बड़ी संख्या को छोटी से भाग दें 

चरण 2: पिछले भाजक को शेषफल से भाग दें 

चरण 3: जब तक शेषफल = 0 न हो जाए दोहराएं 

चरण 4: अंतिम अशून्य भाजक ही HCF है

उदाहरण: 48 और 36 का HCF 

48 ÷ 36 = 1 शेषफल 12 

36 ÷ 12 = 3 शेषफल 0 

HCF = 12

उदाहरण: 252 और 105 का HCF 

252 ÷ 105 = 2 शेषफल 42 

105 ÷ 42 = 2 शेषफल 21 

42 ÷ 21 = 2 शेषफल 0 

HCF = 21

HCF के गुणधर्म:

• HCF(a, b) ≤ min(a, b)
• HCF(a, b) दोनों a और b का गुणनखंड है
• HCF(a, b) = HCF(b, a) (क्रमविनिमेय)
• HCF(a, a) = a
• यदि a, b को विभाजित करता है तो HCF(a, b) = a
• HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b (दो संख्याओं के लिए)

1.3 LCM (लघुत्तम समापवर्त्य)

परिभाषा: दो या अधिक संख्याओं का LCM वह सबसे छोटी संख्या है जो उन सभी से पूरी तरह विभाज्य हो।

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि 

चरण 1: प्रत्येक संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त करें 

चरण 2: किसी भी संख्या में प्रकट होने वाले सभी अभाज्य गुणनखंड लें 

चरण 3: प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड की अधिकतम घात चुनें 

चरण 4: उन्हें गुणा करें

उदाहरण: 36 और 48 का LCM 

36 = 2² × 3² 

48 = 2⁴ × 3 

LCM = 2⁴ × 3² = 16 × 9 = 144

उदाहरण: 12, 18 और 24 का LCM 

12 = 2² × 3 

18 = 2 × 3² 

24 = 2³ × 3 

LCM = 2³ × 3² = 8 × 9 = 72

विधि 2: भाग विधि 

सभी संख्याओं को एक साथ सामान्य अभाज्य गुणनखंडों से तब तक भाग दें जब तक सभी 1 न हो जाएं। 

LCM = उपयोग किए गए सभी भाजकों का गुणनफल।

LCM के गुणधर्म:

• LCM(a, b) ≥ max(a, b)
• LCM(a, b) दोनों a और b का गुणज है
• LCM(a, b) = LCM(b, a)
• LCM(a, a) = a
• यदि a, b को विभाजित करता है तो LCM(a, b) = b
• HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल (केवल दो संख्याओं के लिए)

1.4 HCF और LCM के बीच संबंध

मुख्य सूत्र: 

HCF(a, b) × LCM(a, b) 

= a × b

यह केवल दो संख्याओं के लिए काम करता है। तीन या अधिक संख्याओं के लिए: 

HCF × LCM ≠ संख्याओं का गुणनफल (सामान्यतः)

भिन्नों के लिए संबंध:

• भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM
• भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF

उदाहरण: 3/4 और 5/6 का HCF 

= HCF(3,5) / LCM(4,6) 

= 1/12

उदाहरण: 3/4 और 5/6 का LCM 

= LCM(3,5) / HCF(4,6) 

= 15/2

1.5 HCF और LCM पर महत्वपूर्ण SSC प्रश्न

प्रकार 1: HCF और LCM दिए होने पर संख्याएं ज्ञात करना

यदि HCF = H और LCM = L, तो संख्याएं Ha और Hb के रूप में होती हैं जहां ab = L/H और HCF(a,b) = 1।

उदाहरण: HCF = 12, LCM = 144. संभावित जोड़े ज्ञात करें। 

L/H = 144/12 = 12 = 1 × 12 या 3 × 4 (सह-अभाज्य जोड़े) 

जोड़े: (12, 144) या (36, 48)

प्रकार 2: सबसे बड़ी संख्या जो दी गई संख्याओं को समान शेषफल के साथ विभाजित करे

"वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो a, b, c को समान शेषफल के साथ विभाजित करे" 

= HCF of (a-b), (b-c), (a-c)

उदाहरण: वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 77, 123, 169 को समान शेषफल के साथ विभाजित करे। 1

23 - 77 = 46 

169 - 123 = 46 

169 - 77 = 92 

HCF(46, 46, 92) = 46

प्रकार 3: सबसे छोटी संख्या जो प्रत्येक मामले में r शेषफल के साथ a, b, c से विभाज्य हो 

= LCM(a, b, c) + r

उदाहरण: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 4, 6 और 9 से भाग देने पर प्रत्येक मामले में 3 शेषफल दे। 

LCM(4, 6, 9) = 36 

उत्तर = 36 + 3 = 39 

जांच: 39 ÷ 4 = 9 

शेषफल 3 ✓, 39 ÷ 6 = 6 शेषफल 3 ✓, 39 ÷ 9 = 4 शेषफल 3 ✓

2. शेषफल प्रमेय और संबंधित अवधारणाएं

2.1 भाग एल्गोरिदम

किसी भी दो धनात्मक पूर्णांक a (भाज्य) और b (भाजक) के लिए: 

a = b × q + r जहां 0 ≤ r < b

यहां q = भागफल और r = शेषफल

उदाहरण: 47 = 5 × 9 + 2 (भाज्य = 47, भाजक = 5, भागफल = 9, शेषफल = 2)

मुख्य संबंध:

• भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
• भागफल = (भाज्य - शेषफल) / भाजक
• शेषफल = भाज्य - भाजक × भागफल

2.2 अंतिम अंकों की चक्रीयता (घात चक्र)

घातों के अंतिम अंक एक चक्र का पालन करते हैं:

a^n का अंतिम अंक कैसे ज्ञात करें: 

चरण 1: आधार a के अंतिम अंक का चक्र ज्ञात करें 

चरण 2: n को चक्र की अवधि से भाग दें 

चरण 3: शेषफल बताता है कि चक्र का कौन-सा अवयव उत्तर है 

चरण 4: यदि शेषफल = 0, चक्र का अंतिम अवयव लें

उदाहरण: 7^45 का अंतिम अंक 

7 का चक्र: 7, 9, 3, 1 (अवधि 4) 

45 ÷ 4 = 11 शेषफल 1 चक्र में स्थान 1 = 7 

7^45 का अंतिम अंक = 7

उदाहरण: 3^100 का अंतिम अंक 

3 का चक्र: 3, 9, 7, 1 (अवधि 4) 

100 ÷ 4 = 25 शेषफल 0 

शेषफल 0 का अर्थ है चक्र का अंतिम अवयव = 1 

3^100 का अंतिम अंक = 1

उदाहरण: 2^50 का अंतिम अंक 

2 का चक्र: 2, 4, 8, 6 (अवधि 4) 

50 ÷ 4 = 12 शेषफल 2 

चक्र में स्थान 2 = 4 

2^50 का अंतिम अंक = 4

3. वर्गमूल - पूरी गहन जानकारी

3.1 परिभाषा और बुनियादी गुणधर्म

परिभाषा: यदि b² = a, तो b को a का वर्गमूल कहते हैं, लिखते हैं √a = b (b ≥ 0)

धनात्मक वर्गमूल को मूल वर्गमूल (principal square root) कहते हैं।

मूलभूत गुणधर्म:

• √(a × b) = √a × √b (a, b ≥ 0 के लिए)
• √(a/b) = √a/√b (a ≥ 0, b > 0 के लिए)
• (√a)² = a (a ≥ 0 के लिए)
• √(a²) = |a| (a ≥ 0 हो तो = a, a < 0 हो तो = -a)
• √a × √a = a
• √a + √b ≠ √(a+b) — यह बहुत सामान्य गलती है

3.2 पूर्ण वर्ग - पूरी सूची और गुणधर्म

1 से 400 तक के पूर्ण वर्ग: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400

उनके वर्गमूल: 

√1=1, √4=2, √9=3, √16=4, √25=5, √36=6, √49=7, √64=8, √81=9, √100=10 √121=11, √144=12, √169=13, √196=14, √225=15, √256=16, √289=17, √324=18, √361=19, √400=20

पूर्ण वर्गों के गुणधर्म:

• पूर्ण वर्ग हमेशा इन पर समाप्त होते हैं: 0, 1, 4, 5, 6, 9
• पूर्ण वर्ग कभी इन पर समाप्त नहीं होते: 2, 3, 7, 8
• 1 पर समाप्त होने वाले वर्ग का वर्गमूल 1 या 9 पर समाप्त होता है
• 4 पर समाप्त होने वाले वर्ग का वर्गमूल 2 या 8 पर समाप्त होता है
• 5 पर समाप्त होने वाले वर्ग का वर्गमूल 5 पर समाप्त होता है
• 6 पर समाप्त होने वाले वर्ग का वर्गमूल 4 या 6 पर समाप्त होता है
• 9 पर समाप्त होने वाले वर्ग का वर्गमूल 3 या 7 पर समाप्त होता है
• विषम संख्या का वर्ग हमेशा विषम होता है
• सम संख्या का वर्ग हमेशा सम होता है
• क्रमागत वर्गों का अंतर: n² - (n-1)² = 2n - 1 (हमेशा विषम)

3.3 वर्गमूल निकालने की विधियां

विधि 1: अभाज्य गुणनखंड विधि 

चरण 1: संख्या को अभाज्य गुणनखंडों के रूप में व्यक्त करें 

चरण 2: गुणनखंडों को जोड़ों में समूहित करें 

चरण 3: प्रत्येक जोड़े से एक लें और गुणा करें

उदाहरण: √1764 

1764 = 2² × 3² × 7² 

= (2 × 3 × 7)² 

= 42² √1764 

= 42

उदाहरण: √11025 

11025 = 3² × 5² × 7² 

= (3 × 5 × 7)² 

= 105² 

√11025 = 105

विधि 2: बड़े पूर्ण वर्गों के लिए त्वरित विधि

4 अंकों के पूर्ण वर्ग N के लिए:

• √N एक 2 अंकों की संख्या है
• a ज्ञात करें: a² ≤ N के पहले दो अंक
• b ज्ञात करें: N के अंतिम अंक के आधार पर
• (10a + b)² = N जांचें

उदाहरण: √5329 

पहले दो अंक: 53. a² ≤ 53 → a = 7 (क्योंकि 7² = 49 ≤ 53 < 64 = 8²) 

5329 का अंतिम अंक = 9 → मूल का अंतिम अंक = 3 या 7 

73² = 5329 जांचें ✓

3.4 वर्गमूल का सरलीकरण

√n का सरलीकृत रूप: 

चरण 1: n का सबसे बड़ा पूर्ण वर्ग गुणनखंड ज्ञात करें 

चरण 2: √n = √(पूर्ण वर्ग × शेष) = √(पूर्ण वर्ग) × √(शेष)

उदाहरण:

• √72 = √(36 × 2) = 6√2
• √50 = √(25 × 2) = 5√2
• √108 = √(36 × 3) = 6√3
• √180 = √(36 × 5) = 6√5
• √288 = √(144 × 2) = 12√2
• √245 = √(49 × 5) = 7√5
• √363 = √(121 × 3) = 11√3
• √500 = √(100 × 5) = 10√5

3.5 भिन्नों और दशमलव के वर्गमूल

भिन्न का वर्गमूल: √(p/q) = √p/√q

उदाहरण:

• √(9/16) = 3/4
• √(25/49) = 5/7
• √(4/9) = 2/3
• √(121/169) = 11/13

दशमलव का वर्गमूल:

• √0.25 = 0.5
• √0.09 = 0.3
• √0.0049 = 0.07
• √1.44 = 1.2
• √2.25 = 1.5

3.6 अपरिमेय वर्गमूल - याद रखने योग्य मान

SSC के लिए आवश्यक मान:

√2 = 1.4142135... 

√3 = 1.7320508... 

√5 = 2.2360679... 

√6 = 2.4494897... 

√7 = 2.6457513... 

√8 = 2√2 = 2.8284271... 

√10 = 3.1622776... 

√11 = 3.3166247... 

√12 = 2√3 = 3.4641016... 

√13 = 3.6055512... 

√15 = 3.8729833... 

√17 = 4.1231056... 

√20 = 2√5 = 4.4721359...

3.7 वर्गमूल पर संक्रियाएं

योग और व्यवकलन (केवल सजातीय करणियां): a√n ± b√n = (a ± b)√n

उदाहरण:

• 3√2 + 5√2 = 8√2
• 7√3 - 4√3 = 3√3
• √8 + √18 = 2√2 + 3√2 = 5√2
• √12 + √27 = 2√3 + 3√3 = 5√3
• √50 - √8 = 5√2 - 2√2 = 3√2
• √45 + √20 = 3√5 + 2√5 = 5√5

गुणन: √a × √b = √(ab) उदाहरण:

• √3 × √12 = √36 = 6
• √5 × √20 = √100 = 10
• 2√3 × 3√5 = 6√15

भाग: √a/√b = √(a/b) उदाहरण:

• √12/√3 = √4 = 2
• √75/√3 = √25 = 5
• 6√15/3√5 = 2√3

3.8 परिमेयकरण - पूरी जानकारी

प्रकार 1: हर में एकल करणी 

अंश और हर को उसी करणी से गुणा करें।

• 5/√3 = 5√3/3
• 3/√7 = 3√7/7

प्रकार 2: द्विपद हर (a + √b) 

संयुग्मी (a - √b) से गुणा करें।

• 1/(5 + √3) = (5-√3)/22
• 1/(√5 + √3) = (√5-√3)/2

प्रकार 3: दो करणियों वाला द्विपद हर (√a + √b) 

संयुग्मी (√a - √b) से गुणा करें।

• 1/(√7 - √5) = (√7+√5)/2
• 1/(√11 + √7) = (√11-√7)/4

3.9 SSC के लिए महत्वपूर्ण करणी व्यंजक

पैटर्न 1: (√a + √b)(√a - √b) = a - b

• (√5 + √3)(√5 - √3) = 2
• (3 + √2)(3 - √2) = 7

पैटर्न 2: (√a + √b)² = a + 2√(ab) + b

• (√3 + √2)² = 5 + 2√6
• (√5 + √3)² = 8 + 2√15

पैटर्न 3: नेस्टेड वर्गमूल 

√(a + 2√b) = √c + √d जहां c + d = a और cd = b

उदाहरण: √(7 + 4√3) 

c + d = 7, cd = 12 → c = 4, d = 3 

√(7 + 4√3) = √4 + √3 = 2 + √3 

जांच: (2+√3)² = 4 + 4√3 + 3 = 7 + 4√3 ✓

पैटर्न 4: सतत वर्गमूल x = √(n + √(n + √(n + ...))) x² = n + x → x² - x - n = 0

उदाहरण: x = √(2 + √(2 + √(2 + ...))) 

x² - x - 2 = 0 → (x-2)(x+1) = 0 → x = 2

4. घनमूल - पूरी जानकारी

4.1 पूर्ण घन - पूरी सूची

4.2 घनों के अंतिम अंक का पैटर्न

मुख्य अवलोकन: घन का अंतिम अंक अद्वितीय रूप से उसके घनमूल का अंतिम अंक निर्धारित करता है (वर्गों के विपरीत)। यह SSC के लिए अत्यंत उपयोगी है।

4.3 बड़े पूर्ण घनों का घनमूल निकालना (SSC ट्रिक)

5-6 अंकों के पूर्ण घन के लिए विधि:

चरण 1: दाईं ओर से 3-3 के समूह में अंक बांटें 

चरण 2: दाएं समूह का घनमूल → उत्तर का अंतिम अंक देता है 

चरण 3: बाएं समूह का घनमूल ज्ञात करें (n ज्ञात करें जहां n³ ≤ बायां समूह < (n+1)³) → पहला अंक देता है

उदाहरण: ∛17576 

दायां समूह: 576 → 6 पर समाप्त → घनमूल 6 पर समाप्त 

बायां समूह: 17 → 2³=8 ≤ 17 < 27=3³ → पहला अंक 2 

उत्तर = 26 जांच: 26³ = 17576 ✓

उदाहरण: ∛314432 

दायां समूह: 432 → 2 पर समाप्त → घनमूल 8 पर समाप्त 

बायां समूह: 314 → 6³=216 ≤ 314 < 343=7³ → पहला अंक 6 

उत्तर = 68 

जांच: 68³ = 314432 ✓

4.4 घनमूल के गुणधर्म

• ∛(a × b) = ∛a × ∛b
• ∛(a/b) = ∛a/∛b
• (∛a)³ = a
• ∛(a³) = a
• ∛(-a) = -∛a (ऋणात्मक संख्याओं का घनमूल वास्तविक और ऋणात्मक होता है)
• ∛(-8) = -2, ∛(-27) = -3, ∛(-125) = -5

5. सूचकांक और घातांक

5.1 सूचकांक के नियम

• a^m × a^n = a^(m+n)
• a^m ÷ a^n = a^(m-n)
• (a^m)^n = a^(mn)
• (ab)^n = a^n × b^n
• (a/b)^n = a^n/b^n
• a^0 = 1 (a ≠ 0 के लिए)
• a^(-n) = 1/a^n
• a^(1/n) = ⁿ√a
• a^(m/n) = (ⁿ√a)^m = ⁿ√(a^m)

विशेष मामले:

• 0^0 = अपरिभाषित
• 0^n = 0 (n > 0 के लिए)
• 1^n = 1 (सभी n के लिए)
• (-1)^n = 1 यदि n सम है, -1 यदि n विषम है

6. हल किए गए उदाहरण - SSC स्तर

उदाहरण 1: 36 और 48 का HCF और LCM ज्ञात करें। 

36 = 2² × 3², 48 = 2⁴ × 3 

HCF = 2² × 3 = 12 

LCM = 2⁴ × 3² = 144 

जांच: HCF × LCM = 12 × 144 = 1728 = 36 × 48 ✓

उदाहरण 2: दो संख्याओं का HCF 8 और LCM 192 है। यदि एक संख्या 64 है, दूसरी ज्ञात करें। 

HCF × LCM = संख्याओं का गुणनफल

8 × 192 = 64 × दूसरी 

दूसरी = 1536/64 = 24

उदाहरण 3: वह सबसे बड़ी संख्या ज्ञात करें जो 625, 761 और 999 को समान शेषफल के साथ विभाजित करे। 

761 - 625 = 136 

999 - 761 = 238 

999 - 625 = 374 

HCF(136, 238, 374) = 2 × 17 = 34

उदाहरण 4: वह सबसे छोटी संख्या ज्ञात करें जो 8, 12 और 15 से भाग देने पर 5 शेषफल दे। 

LCM(8, 12, 15) = 120 

उत्तर = 120 + 5 = 125

उदाहरण 5: 7^55 का अंतिम अंक ज्ञात करें। 

7 का चक्र: 7, 9, 3, 1 (अवधि 4) 

55 ÷ 4 = 13 शेषफल 3 

स्थान 3 = 3 

7^55 का अंतिम अंक = 3

उदाहरण 6: ∛474552 ज्ञात करें। दायां समूह: 552 → 2 पर समाप्त → घनमूल 8 पर समाप्त बायां समूह: 474 → 7³=343 ≤ 474 < 512=8³ → पहला अंक 7 उत्तर = 78 जांच: 78³ = 474552 ✓

उदाहरण 7: √(8 + 2√15) सरल करें। 

(√a + √b)² = a + b + 2√(ab) = 8 + 2√15 के लिए 

a + b = 8 और ab = 15 → a = 5, b = 3 

√(8 + 2√15) = √5 + √3

उदाहरण 8: √(√(√65536)) का मान ज्ञात करें। 

65536 = 2^16 

√65536 = 2^8 = 256 

√256 = 2^4 = 16 

√16 = 4 

उत्तर = 4

उदाहरण 9: √(12 + √(12 + √(12 + ...∞))) का मान ज्ञात करें। 

माना x = √(12 + x) 

x² = 12 + x → x² - x - 12 = 0 → (x-4)(x+3) = 0 

x = 4 (धनात्मक मान)

उदाहरण 10: दो संख्याओं का HCF 12 है और उनका योग 84 है। LCM ज्ञात करें। 

संख्याएं = 12a और 12b जहां HCF(a,b) = 1 

12a + 12b = 84 → a + b = 7 

सह-अभाज्य जोड़े जिनका योग 7 है: (1,6), (2,5), (3,4) 

LCM = H × a × b: 

(1,6) के लिए: LCM = 12 × 6 = 72 

(2,5) के लिए: LCM = 12 × 10 = 120 

(3,4) के लिए: LCM = 12 × 12 = 144

7. मुख्य सूत्र - त्वरित संदर्भ

HCF और LCM:

• HCF × LCM = दो संख्याओं का गुणनफल
• भिन्नों का HCF = अंशों का HCF / हरों का LCM
• भिन्नों का LCM = अंशों का LCM / हरों का HCF
• समान शेषफल के साथ a, b, c को विभाजित करने वाली सबसे बड़ी संख्या = HCF(a-b, b-c, a-c)
• r शेषफल के साथ a, b, c से विभाज्य सबसे छोटी संख्या = LCM(a,b,c) + r

वर्गमूल:

• क्रमागत वर्गों का अंतर: (n+1)² - n² = 2n+1
• √(a+2√b) = √c + √d जहां c+d = a, cd = b
• सतत वर्गमूल: x = √(n+x) → x² - x - n = 0

घनमूल (अंतिम अंक ट्रिक):

• 1 → 1, 8 → 2, 7 → 3, 4 → 4, 5 → 5
• 6 → 6, 3 → 7, 2 → 8, 9 → 9, 0 → 0

चक्रीयता:

• 2, 3, 7, 8 का अंतिम अंक: अवधि 4 का चक्र
• 4, 9 का अंतिम अंक: अवधि 2 का चक्र
• 1, 5, 6, 0 का अंतिम अंक: हमेशा समान (अवधि 1)

सूचकांक:

• a^m × a^n = a^(m+n)
• (a^m)^n = a^(mn)
• a^(1/n) = ⁿ√a
• a^(-n) = 1/a^n